Teoria Inwersji

przygotowane przez  dr hab. Wojciecha Dębskiego, prof. PAN


Badania geofizyczne,  za początek których można przyjąć obserwacje dużych trzęsień ziemi prowadzone w Chinach przed ponad dwoma tysiącami lat (Lee, 2003) przeszły olbrzymią metamorfozę. Z początkowego stanu obserwacji i opisu głównie jakościowego, dodatkowo obciążonego problemami natury filozoficznej jak na przykład czy  katastrofy naturalne, (trzęsienia ziemi, wybuchy wulkanów, itp.)  to zjawiska naturalne czy nie, ewoluowały do współczesnej ścisłej metodycznie nauki opartej na prawach fizyki, używającej języka matematyki oraz najnowszych osiągnięć technologicznych. Jednakże, pomimo tego niezwykłego rozwoju badania geofizyczne ciągle napotykają na to samo podstawowe ograniczenie. Wszystkie dostępne o Ziemi informacje pochodzą praktycznie albo z pomiarów wykonywanych na powierzchni ziemi (lub w stosunkowo płytkiej 5-10km warstwie przypowierzchniowej) lub z przestrzeni kosmicznej.  Możliwości bezpośrednich pomiarów interesujących wielkości są więc bardzo ograniczone. Niec więc dziwnego, że geofizycy wnieśli olbrzymi wkład w rozwój teorii inwersji – teorii wnioskowania o interesujących nas  wielkościach i zjawiskach na podstawie pomiarów i obserwacji innych niż pożądane wielkości fizycznych – pomiarów pośrednich.

Przez długi okres, począwszy od prac Laplaca i Gausa  wnioskowanie to było rozumiane jako zadanie oszacowania wasrtości wybranych  parametrów fizycznych, ich przestrzennych rozkładów wewnątrz ziemi, itp.  Tradycyjnie zadanie to rozwiazywane było metodami optymalizacyjnymi poprzez poszukiwaniu takich wartości dla których przewidywania przyjętego modelu (np. budowy wnętrza Ziemi, procesu wyzwalania energi w ognisku trzęsienia ziemi, itp.) dawały najlepszą zgodność z obserwacjami.

Obecne wymagania metodyki badawczej są jednakże znacznie ostrzejsze. Nie wystarczy już bowiem oszacować ``najlepsze wartości'' interesujących nas  parametrów. Musimy także znać jak wiarygodne jest to oszacowanie, lub mówiąc inaczej jaka jest dokładność takiego oszacowania. Co więcej, potrzebne są ilościowe metody porównywania różnych modeli teoretycznych w oparciu o posiadane dane z pomiarów pośrednich. Już tylko te dwa zadania stanowią olbrzymie wyzwanie dla współczesnej teorii inwersji.

Aby móc podjąć powyższe, i inne podobne problemy stosujemy w naszych badaniach podejście probabilistyczne (Tarantola 2005, Debski 2010) oparte na wnioskowaniu statystycznym.  W tym nowoczesnym sformułowaniu teoria inwersji rozumiana jest jako technika łączenia informacji obserwacyjnych, teoretycznych i posiadanych informacji a priori  reprezentowanych przez uogólnione rozkłady prawdopodobieństwa. Rozwiązaniem jest również pewien rozkład prawdopodobieństwa a posteriori opisujący prawdopodobieństwo, że dana wartość parametrów jest prawdziwa. W  wefekcie podejście takie umożliwia prowadzenie zaawansowanych  analizy dokładności i jednoznaczności otrzymanych wyników a więc jest uogólnieniem klasycznej metody inwersyjnej opartej na technice optymalizacyjnej. Jednakże, najważniejszą zaletą probabilistycznej teorii inwersji jest możliwość analizowania zagadnień ``nieparametrycznych'' których nie daje się sformułować w prosty sposób jako zagadnień optymalizacyjnych. Przykładem  mogą być zagadnienia wyboru parametryzacji, porównywania różnych teorii fizycznych, planowania eksperymentów, itp.

Praktyczne stosowanie probabilistycznej teorii inwersji jest związane  z koniecznością efektywnego badanie wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa co jest poważnym wyzwaniem numerycznym. Stosowane obecnie techniki oparte są prawie I wyłącznie na metodach Monte Carlo, a dokładniej na symulacjach łańcuchów Markowa (ang. Markov Chain Monte Carlo – MCMC). W sporadycznych (w chwili obecnej) przypadkach, gdy dopuszczamy zmienność ilości parametrów podlegających ocenie stosowana jest również bardziej zaawansowana technika Revesible Jump Markov Chain Monte Carlo umożliwiająca badanie rozkładów prawdopodobieństwa określonych na bardziej złozonych przestrzeniach niż tylko przestrzeń RN. Znacznym wyzwaniem jest rozszerzenie powyższych technik próbkowania stochastycznego do współczesnych technologii obliczeń równoległych HPC (ang. High-performance computing).

Stosunkowo nowym zagadnieniem podejmowanym w naszych badaniach w zakresie teorii inwersji jest próba włączenia techniki tzw. Time Reversal Mirroring do ogólnego schematu teorii inwersji. Metoda ta, wykraczająca poza klasyczne ramy teorii inwersji,  jest niezwykle użyteczna i efektywna przy rozwiązywaniu niektórych zagadnień inwersyjnych. Polega ona na ``wstecznej'' w czasie numerycznej propagacji zarejestrowanych sygnałów do ich źródła a więc niemal ``bezpośrednie'' pomiary procesów zachodzących np. w ogniskach trzęsień ziemi. 


Literatura uzupełniająca

1. Lee, W., Kanamori, H., Jennings, P., Kisslinger, C. (Eds.), 2003. International Handbook of Earthquake & Engineering Seismology Vol. A, Academic Press, Amsterdam.
2.Tarantola, A., 2005. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation. SIAM, Philadelphia.
3. W. Dębski, PROBABILISTIC INVERSE THEORY , Advances in Geophysics, Vol. 52, pp 1-100 (2010).

Prowadzone projekty

  • chihe